Soal 1: Perkalian Skalar (Dot Product)
Dua vektor dalam ruang dua dimensi diberikan sebagai berikut:
\[ \mathbf{A} = (4, 3) \]
dan
\[ \mathbf{B} = (2, -1) \].
Tentukan nilai dot product dari kedua vektor tersebut dan interpretasikan hasilnya.
Pembahasan:
Dot product dari dua vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \) dalam dua dimensi dihitung dengan rumus:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y
\]
Substitusi nilai-nilai dari vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \):
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (4 \times 2) + (3 \times -1) = 8 – 3 = 5
\]
Jadi, dot product dari \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \) adalah 5.
Interpretasi:
Dot product menghasilkan nilai positif, yang menunjukkan bahwa sudut antara kedua vektor kurang dari 90 derajat, sehingga kedua vektor cenderung searah.
Soal 2: Perkalian Silang (Cross Product)
Dua vektor dalam ruang tiga dimensi diberikan sebagai berikut:
\[ \mathbf{C} = (1, 2, 3) \]
dan
\[ \mathbf{D} = (4, 0, -1) \].
Tentukan nilai cross product dari kedua vektor tersebut dan interpretasikan hasilnya.
Pembahasan:
Cross product dari dua vektor \( \mathbf{C} \) dan \( \mathbf{D} \) dalam tiga dimensi dihitung dengan menggunakan determinan:
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix}
\]
Hitung determinan ini:
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = \mathbf{i}(2 \times -1 – 3 \times 0) – \mathbf{j}(1 \times -1 – 3 \times 4) + \mathbf{k}(1 \times 0 – 2 \times 4)
\]
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = \mathbf{i}(-2) – \mathbf{j}(-1 – 12) + \mathbf{k}(0 – 8)
\]
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = (-2\mathbf{i}) + (13\mathbf{j}) – (8\mathbf{k})
\]
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = (-2, 13, -8)
\]
Jadi, cross product dari \( \mathbf{C} \) dan \( \mathbf{D} \) adalah vektor \( (-2, 13, -8) \).
Interpretasi:
Vektor hasil perkalian silang \( (-2, 13, -8) \) tegak lurus terhadap kedua vektor asal \( \mathbf{C} \) dan \( \mathbf{D} \). Vektor ini bisa digunakan, misalnya, untuk menemukan arah normal terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut dalam berbagai aplikasi seperti mekanika dan grafika komputer.
Kesimpulan
Perkalian skalar memberikan nilai skalar yang dapat mengindikasikan sudut antara dua vektor, sementara perkalian silang memberikan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor asal, dengan aplikasi yang luas dalam fisika dan teknik.
Soal 3: Perkalian Skalar (Dot Product)
Dua vektor \( \mathbf{A} = (2, 3) \) dan \( \mathbf{B} = (4, -1) \). Hitung dot product dari kedua vektor tersebut, dan tentukan apakah kedua vektor tersebut tegak lurus.
Pembahasan:
Dot product dua vektor \( \mathbf{A} = (A_x, A_y) \) dan \( \mathbf{B} = (B_x, B_y) \) dalam ruang dua dimensi dapat dihitung dengan rumus:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \times B_x + A_y \times B_y
\]
Untuk vektor \( \mathbf{A} = (2, 3) \) dan \( \mathbf{B} = (4, -1) \):
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (2 \times 4) + (3 \times -1) = 8 – 3 = 5
\]
Karena hasil dot product adalah 5, yang bukan nol, maka kedua vektor tidak tegak lurus.
Soal 4: Perkalian Silang (Cross Product)
Dua vektor dalam ruang tiga dimensi \( \mathbf{C} = (1, 2, 3) \) dan \( \mathbf{D} = (4, 0, -1) \). Hitung cross product dari kedua vektor tersebut.
Pembahasan:
Cross product dua vektor \( \mathbf{C} = (C_x, C_y, C_z) \) dan \( \mathbf{D} = (D_x, D_y, D_z) \) dalam ruang tiga dimensi dapat dihitung menggunakan determinan dari matriks berikut:
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ C_x & C_y & C_z \\ D_x & D_y & D_z \end{vmatrix}
\]
Dengan \( \mathbf{C} = (1, 2, 3) \) dan \( \mathbf{D} = (4, 0, -1) \), kita hitung determinannya:
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} – \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \end{vmatrix}
\]
Langkah-langkahnya:
– Untuk komponen \( \mathbf{i} \):
\[
\mathbf{i} \cdot (2 \times -1 – 3 \times 0) = \mathbf{i} \cdot (-2)
\]
– Untuk komponen \( \mathbf{j} \):
\[
\mathbf{j} \cdot (1 \times -1 – 3 \times 4) = \mathbf{j} \cdot (-1 – 12) = \mathbf{j} \cdot (-13)
\]
– Untuk komponen \( \mathbf{k} \):
\[
\mathbf{k} \cdot (1 \times 0 – 2 \times 4) = \mathbf{k} \cdot (-8)
\]
Sehingga cross product dari \( \mathbf{C} \times \mathbf{D} \) adalah:
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = (-2) \mathbf{i} – (-13) \mathbf{j} + (-8) \mathbf{k} = (-2, 13, -8)
\]
Jadi, vektor hasil cross product adalah \( (-2, 13, -8) \), yang tegak lurus terhadap vektor \( \mathbf{C} \) dan \( \mathbf{D} \).
Soal 5: Aplikasi Perkalian Vektor dalam Fisika
Sebuah benda ditarik oleh gaya \( \mathbf{F} = (50, 30) \) Newton, dan benda berpindah sejauh \( \mathbf{d} = (3, 4) \) meter. Hitunglah kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut pada benda.
Pembahasan:
Kerja yang dilakukan oleh gaya \( \mathbf{F} \) ketika benda berpindah sejauh \( \mathbf{d} \) dihitung menggunakan dot product:
\[
W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}
\]
Untuk \( \mathbf{F} = (50, 30) \) dan \( \mathbf{d} = (3, 4) \):
\[
W = (50 \times 3) + (30 \times 4) = 150 + 120 = 270 \, \text{Joule}
\]
Jadi, kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah 270 Joule.