Contoh soal Massa, Momentum, dan energi relativistik

Soal 1: Menghitung Massa Relativistik
Sebuah partikel bermassa diam \( m_0 = 2 \, \text{kg} \) bergerak dengan kecepatan \( v = 2{,}4 \times 10^8 \, \text{m/s} \). Hitung massa relativistik partikel tersebut.

Pembahasan:

Gunakan persamaan massa relativistik:
\[
m = \frac{m_0}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}
\]
Di sini:
– \( m_0 = 2 \, \text{kg} \)
– \( v = 2{,}4 \times 10^8 \, \text{m/s} \)
– \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)

Substitusi nilai:
\[
m = \frac{2}{\sqrt{1 – \frac{(2{,}4 \times 10^8)^2}{(3 \times 10^8)^2}}}
\]
\[
= \frac{2}{\sqrt{1 – 0{,}64}} = \frac{2}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{2}{0{,}6} = 3{,}33 \, \text{kg}
\]
Jadi, massa relativistiknya adalah \( 3{,}33 \, \text{kg} \).

Soal 2: Menghitung Momentum Relativistik
Sebuah elektron dengan massa diam \( m_0 = 9{,}11 \times 10^{-31} \, \text{kg} \) bergerak dengan kecepatan \( v = 0{,}9 \times c \). Hitung momentum relativistiknya.

Pembahasan:

Gunakan persamaan momentum relativistik:
\[
p = \frac{m_0 \cdot v}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}
\]
Dengan:
– \( m_0 = 9{,}11 \times 10^{-31} \, \text{kg} \)
– \( v = 0{,}9 \times c = 0{,}9 \times 3 \times 10^8 \, \text{m/s} = 2{,}7 \times 10^8 \, \text{m/s} \)
– \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)

Substitusi nilai:
\[
p = \frac{9{,}11 \times 10^{-31} \times 2{,}7 \times 10^8}{\sqrt{1 – \frac{(2{,}7 \times 10^8)^2}{(3 \times 10^8)^2}}}
\]
\[
= \frac{2{,}46 \times 10^{-22}}{\sqrt{1 – 0{,}81}} = \frac{2{,}46 \times 10^{-22}}{\sqrt{0{,}19}} \approx 5{,}65 \times 10^{-22} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}
\]
Jadi, momentum relativistiknya adalah \( 5{,}65 \times 10^{-22} \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \).

Soal 3: Menghitung Energi Total Relativistik
Sebuah partikel memiliki massa diam \( m_0 = 5 \, \text{kg} \) dan bergerak dengan kecepatan \( v = 0{,}8c \). Hitung energi total partikel tersebut.

Pembahasan:

Gunakan persamaan energi total relativistik:
\[
E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}
\]
Di sini:
– \( m_0 = 5 \, \text{kg} \)
– \( v = 0{,}8c = 0{,}8 \times 3 \times 10^8 \, \text{m/s} = 2{,}4 \times 10^8 \, \text{m/s} \)
– \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)

Substitusi nilai:
\[
E = \frac{5 \times (3 \times 10^8)^2}{\sqrt{1 – \frac{(2{,}4 \times 10^8)^2}{(3 \times 10^8)^2}}}
\]
\[
= \frac{5 \times 9 \times 10^{16}}{\sqrt{1 – 0{,}64}} = \frac{4{,}5 \times 10^{17}}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{4{,}5 \times 10^{17}}{0{,}6} = 7{,}5 \times 10^{17} \, \text{J}
\]
Jadi, energi totalnya adalah \( 7{,}5 \times 10^{17} \, \text{J} \).

Soal 4: Energi Kinetik Relativistik
Hitung energi kinetik relativistik sebuah partikel bermassa diam \( m_0 = 1 \, \text{kg} \) yang bergerak dengan kecepatan \( v = 0{,}6c \).

Pembahasan:

Energi kinetik relativistik dapat dihitung sebagai selisih energi total dengan energi diam:
\[
E_k = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} – m_0 c^2
\]
Dengan:
– \( m_0 = 1 \, \text{kg} \)
– \( v = 0{,}6c \)
– \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)

Substitusi nilai:
\[
E_k = \frac{1 \times (3 \times 10^8)^2}{\sqrt{1 – (0{,}6)^2}} – (1 \times 9 \times 10^{16})
\]
\[
= \frac{9 \times 10^{16}}{\sqrt{0{,}64}} – 9 \times 10^{16} = \frac{9 \times 10^{16}}{0{,}8} – 9 \times 10^{16}
\]
\[
= (1{,}125 \times 10^{17}) – 9 \times 10^{16} = 2{,}25 \times 10^{16} \, \text{J}
\]
Jadi, energi kinetik relativistiknya adalah \( 2{,}25 \times 10^{16} \, \text{J} \).