Soal 1: Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Diketahui vektor \(\mathbf{p} = \langle 3, 5 \rangle\) dan \(\mathbf{q} = \langle -2, 4 \rangle\). Hitunglah:
1. \(\mathbf{p} + \mathbf{q}\)
2. \(\mathbf{p} – \mathbf{q}\)
A. \(\langle 1, 9 \rangle\) dan \(\langle 5, 1 \rangle\)
B. \(\langle 1, 9 \rangle\) dan \(\langle 1, 9 \rangle\)
C. \(\langle 1, 1 \rangle\) dan \(\langle 5, 9 \rangle\)
D. \(\langle 1, 9 \rangle\) dan \(\langle 9, 1 \rangle\)
E. \(\langle 5, 9 \rangle\) dan \(\langle 1, 9 \rangle\)
Jawaban: A. \(\langle 1, 9 \rangle\) dan \(\langle 5, 1 \rangle\)
Pembahasan:
1. Penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponennya:
\[
\mathbf{p} + \mathbf{q} = \langle 3, 5 \rangle + \langle -2, 4 \rangle = \langle 3 + (-2), 5 + 4 \rangle = \langle 1, 9 \rangle
\]
2. Pengurangan vektor dilakukan dengan mengurangkan komponen-komponennya:
\[
\mathbf{p} – \mathbf{q} = \langle 3, 5 \rangle – \langle -2, 4 \rangle = \langle 3 – (-2), 5 – 4 \rangle = \langle 5, 1 \rangle
\]
Jadi, hasil penjumlahan adalah \(\langle 1, 9 \rangle\) dan hasil pengurangan adalah \(\langle 5, 1 \rangle\).
Soal 2: Perkalian Skalar
Misalkan vektor \(\mathbf{r} = \langle -3, 2, 4 \rangle\) dan skalar \(k = 5\). Hitunglah hasil perkalian skalar \(k \mathbf{r}\).
A. \(\mathbf{s} = \langle -15, 10, 20 \rangle\)
B. \(\mathbf{s} = \langle -15, 8, 16 \rangle\)
C. \(\mathbf{s} = \langle 15, 10, 16 \rangle\)
D. \(\mathbf{s} = \langle -15, 10, 16 \rangle\)
E. \(\mathbf{s} = \langle 15, -10, 20 \rangle\)
Jawaban: A. \(\mathbf{s} = \langle -15, 10, 20 \rangle\)
Pembahasan:
Perkalian skalar dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar \(k\):
\[
k \mathbf{r} = 5 \times \langle -3, 2, 4 \rangle = \langle 5 \times -3, 5 \times 2, 5 \times 4 \rangle = \langle -15, 10, 20 \rangle
\]
Jadi, hasil perkalian skalar \(k \mathbf{r}\) adalah \(\mathbf{s} = \langle -15, 10, 20 \rangle\).
Soal 3: Dot Product (Produk Titik)
Diketahui dua vektor \(\mathbf{u} = \langle 4, -2 \rangle\) dan \(\mathbf{v} = \langle -1, 3 \rangle\). Hitunglah dot product \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\).
A. -10
B. -5
C. 5
D. 10
E. 15
Jawaban: B. -5
Pembahasan:
Dot product dihitung dengan mengalikan komponen-komponen yang bersesuaian dan menjumlahkan hasilnya:
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (4 \times -1) + (-2 \times 3) = -4 + (-6) = -10
\]
Jadi, hasil dot product \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\) adalah -10.