Soal 1: Komponen Vektor di Ruang Dua Dimensi
Sebuah vektor \(\mathbf{v}\) memiliki panjang 8 satuan dan membentuk sudut \(45^\circ\) terhadap sumbu \(x\) positif. Tentukan komponen-komponen vektor \(\mathbf{v}\) dalam sumbu \(x\) dan \(y\).
A. \(\mathbf{v} = \langle 4\sqrt{2}, 4 \rangle\)
B. \(\mathbf{v} = \langle 4\sqrt{2}, 4\sqrt{2} \rangle\)
C. \(\mathbf{v} = \langle 8\sqrt{2}, 8 \rangle\)
D. \(\mathbf{v} = \langle 8, 4\sqrt{2} \rangle\)
E. \(\mathbf{v} = \langle 4, 4 \rangle\)
Jawaban: B. \(\mathbf{v} = \langle 4\sqrt{2}, 4\sqrt{2} \rangle\)
Pembahasan:
Untuk menentukan komponen-komponen vektor \(\mathbf{v}\), kita menggunakan fungsi trigonometri:
– Komponen pada sumbu \(x\): \(v_x = \|\mathbf{v}\| \cos \theta\)
– Komponen pada sumbu \(y\): \(v_y = \|\mathbf{v}\| \sin \theta\)
Diketahui:
\[
\|\mathbf{v}\| = 8 \text{ satuan}, \quad \theta = 45^\circ
\]
Karena \(\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), maka:
\[
v_x = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ satuan}
\]
\[
v_y = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ satuan}
\]
Jadi, komponen-komponen vektor \(\mathbf{v}\) adalah \(\langle 4\sqrt{2}, 4\sqrt{2} \rangle\).
Soal 2: Menghitung Komponen Vektor dari Dua Titik
Diketahui titik \(P(1, -2)\) dan titik \(Q(5, 4)\) di ruang dua dimensi. Tentukan vektor \(\mathbf{PQ}\) beserta komponen-komponennya.
A. \(\mathbf{PQ} = \langle 4, 6 \rangle\)
B. \(\mathbf{PQ} = \langle -4, -6 \rangle\)
C. \(\mathbf{PQ} = \langle 6, 4 \rangle\)
D. \(\mathbf{PQ} = \langle -6, -4 \rangle\)
E. \(\mathbf{PQ} = \langle 5, 6 \rangle\)
Jawaban: A. \(\mathbf{PQ} = \langle 4, 6 \rangle\)
Pembahasan:
Vektor \(\mathbf{PQ}\) didefinisikan sebagai vektor yang berasal dari titik \(P\) ke titik \(Q\). Komponen-komponen vektor \(\mathbf{PQ}\) dapat dihitung sebagai:
\[
\mathbf{PQ} = \langle x_Q – x_P, y_Q – y_P \rangle
\]
Di mana:
\[
x_P = 1, \quad y_P = -2, \quad x_Q = 5, \quad y_Q = 4
\]
Substitusikan nilai-nilai tersebut:
\[
\mathbf{PQ} = \langle 5 – 1, 4 – (-2) \rangle = \langle 4, 6 \rangle
\]
Jadi, komponen-komponen vektor \(\mathbf{PQ}\) adalah \(\langle 4, 6 \rangle\).
Soal 3: Menyusun Vektor dari Komponen-Komponennya
Diketahui sebuah vektor \(\mathbf{w}\) memiliki komponen \(w_x = 3\), \(w_y = 4\), dan \(w_z = 12\) di ruang tiga dimensi. Tentukan magnitudo vektor \(\mathbf{w}\).
A. \(10\) satuan
B. \(11\) satuan
C. \(13\) satuan
D. \(14\) satuan
E. \(15\) satuan
Jawaban: C. \(13\) satuan
Pembahasan:
Magnitudo vektor \(\mathbf{w}\) dihitung menggunakan rumus:
\[
\|\mathbf{w}\| = \sqrt{w_x^2 + w_y^2 + w_z^2}
\]
Substitusi nilai komponen-komponen vektor:
\[
\|\mathbf{w}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ satuan}
\]
Jadi, magnitudo vektor \(\mathbf{w}\) adalah 13 satuan.