Soal 1: Menguraikan Vektor dalam Dua Dimensi
Sebuah vektor \(\vec{F}\) memiliki magnitudo 40 N dan membentuk sudut \(45^\circ\) terhadap sumbu \(x\). Tentukan komponen-komponen vektor \(\vec{F}\) pada sumbu \(x\) dan \(y\).
A. \(\vec{F} = \langle 28.3, 28.3 \rangle\)
B. \(\vec{F} = \langle 20, 30 \rangle\)
C. \(\vec{F} = \langle 30, 40 \rangle\)
D. \(\vec{F} = \langle 35.4, 20 \rangle\)
E. \(\vec{F} = \langle 40, 28.3 \rangle\)
Jawaban: A. \(\vec{F} = \langle 28.3, 28.3 \rangle\)
Pembahasan:
Untuk menguraikan vektor \(\vec{F}\) menjadi komponen-komponennya, kita menggunakan fungsi trigonometri:
– Komponen pada sumbu \(x\): \(F_x = |\vec{F}| \cos \theta\)
– Komponen pada sumbu \(y\): \(F_y = |\vec{F}| \sin \theta\)
Diketahui:
\[
|\vec{F}| = 40 \text{ N}, \quad \theta = 45^\circ
\]
Karena \(\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), maka:
\[
F_x = 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 28.3 \text{ N}
\]
\[
F_y = 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 28.3 \text{ N}
\]
Jadi, komponen-komponen vektor \(\vec{F}\) adalah \(\langle 28.3, 28.3 \rangle\).
Soal 2: Menguraikan Vektor dalam Tiga Dimensi
Sebuah vektor \(\vec{B}\) di ruang tiga dimensi memiliki magnitudo 120 satuan. Diketahui sudut antara vektor \(\vec{B}\) dengan sumbu \(x\) adalah \(30^\circ\), dengan sumbu \(y\) adalah \(60^\circ\), dan dengan sumbu \(z\) adalah \(90^\circ\). Tentukan komponen-komponen vektor \(\vec{B}\) pada masing-masing sumbu.
A. \(\vec{B} = \langle 60, 60, 0 \rangle\)
B. \(\vec{B} = \langle 103.9, 30, 50 \rangle\)
C. \(\vec{B} = \langle 60, 30, 60 \rangle\)
D. \(\vec{B} = \langle 30, 60, 0 \rangle\)
E. \(\vec{B} = \langle 120, 30, 60 \rangle\)
Jawaban: A. \(\vec{B} = \langle 60, 60, 0 \rangle\)
Pembahasan:
Untuk menghitung komponen-komponen vektor \(\vec{B}\), kita gunakan aturan trigonometri:
1. Komponen pada sumbu \(x\):
\[
B_x = |\vec{B}| \cos(30^\circ) = 120 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 103.9 \text{ satuan}
\]
2. Komponen pada sumbu \(y\):
\[
B_y = |\vec{B}| \cos(60^\circ) = 120 \times \frac{1}{2} = 60 \text{ satuan}
\]
3. Komponen pada sumbu \(z\):
\[
B_z = |\vec{B}| \cos(90^\circ) = 120 \times 0 = 0 \text{ satuan}
\]
Jadi, komponen-komponen vektor \(\vec{B}\) adalah \(\langle 60, 60, 0 \rangle\).
Soal 3: Aplikasi Penguraian Vektor pada Gaya
Sebuah benda berada di atas permukaan miring dengan sudut kemiringan \(45^\circ\) terhadap horizontal. Gaya gravitasi yang bekerja pada benda tersebut adalah 80 N. Tentukan komponen gaya gravitasi yang sejajar dan tegak lurus terhadap permukaan miring.
A. \(W_\parallel = 40 \text{ N}, W_\perp = 56.6 \text{ N}\)
B. \(W_\parallel = 56.6 \text{ N}, W_\perp = 40 \text{ N}\)
C. \(W_\parallel = 80 \text{ N}, W_\perp = 56.6 \text{ N}\)
D. \(W_\parallel = 56.6 \text{ N}, W_\perp = 80 \text{ N}\)
E. \(W_\parallel = 45 \text{ N}, W_\perp = 45 \text{ N}\)
Jawaban: B. \(W_\parallel = 56.6 \text{ N}, W_\perp = 40 \text{ N}\)
Pembahasan:
Gaya gravitasi \(\vec{W}\) dapat diuraikan menjadi dua komponen: sejajar dengan permukaan miring (\(W_\parallel\)) dan tegak lurus terhadap permukaan miring (\(W_\perp\)).
1. Komponen sejajar dengan permukaan miring (\(W_\parallel\)):
\[
W_\parallel = |\vec{W}| \sin(45^\circ) = 80 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 56.6 \text{ N}
\]
2. Komponen tegak lurus terhadap permukaan miring (\(W_\perp\)):
\[
W_\perp = |\vec{W}| \cos(45^\circ) = 80 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 40 \text{ N}
\]
Jadi, komponen gaya gravitasi yang sejajar dengan permukaan miring adalah 56.6 N, dan komponen yang tegak lurus terhadap permukaan miring adalah 40 N.