Berikut adalah beberapa contoh soal beserta pembahasannya tentang sifat-sifat vektor berdasarkan materi yang telah dijelaskan:
Soal 1: Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Diketahui vektor \(\mathbf{a} = \langle 2, 3 \rangle\) dan \(\mathbf{b} = \langle -1, 4 \rangle\). Hitunglah:
1. \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\)
2. \(\mathbf{a} – \mathbf{b}\)
Pembahasan:
1. Penjumlahan Vektor:
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \langle 2, 3 \rangle + \langle -1, 4 \rangle = \langle 2 + (-1), 3 + 4 \rangle = \langle 1, 7 \rangle
\]
2. Pengurangan Vektor:
\[
\mathbf{a} – \mathbf{b} = \langle 2, 3 \rangle – \langle -1, 4 \rangle = \langle 2 – (-1), 3 – 4 \rangle = \langle 3, -1 \rangle
\]
Jadi, hasil penjumlahan adalah \(\langle 1, 7 \rangle\) dan hasil pengurangan adalah \(\langle 3, -1 \rangle\).
Soal 2: Perkalian Skalar
Jika vektor \(\mathbf{c} = \langle 5, -2, 3 \rangle\) dan skalar \(k = -3\), hitunglah hasil perkalian skalar \(k \mathbf{c}\).
Pembahasan:
Perkalian skalar dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar \(k\):
\[
k \mathbf{c} = -3 \times \langle 5, -2, 3 \rangle = \langle -3 \times 5, -3 \times (-2), -3 \times 3 \rangle = \langle -15, 6, -9 \rangle
\]
Jadi, hasil perkalian skalar \(k \mathbf{c}\) adalah \(\langle -15, 6, -9 \rangle\).
Soal 3: Dot Product
Diberikan dua vektor \(\mathbf{d} = \langle 1, 2 \rangle\) dan \(\mathbf{e} = \langle 3, 4 \rangle\). Hitunglah dot product \(\mathbf{d} \cdot \mathbf{e}\).
Pembahasan:
Dot product dihitung sebagai berikut:
\[
\mathbf{d} \cdot \mathbf{e} = (1 \times 3) + (2 \times 4) = 3 + 8 = 11
\]
Jadi, dot product \(\mathbf{d} \cdot \mathbf{e}\) adalah 11.
Soal 4: Cross Product
Diketahui vektor \(\mathbf{f} = \langle 1, 0, -1 \rangle\) dan \(\mathbf{g} = \langle 2, 3, 4 \rangle\). Hitunglah cross product \(\mathbf{f} \times \mathbf{g}\).
Pembahasan:
Cross product dihitung dengan rumus:
\[
\mathbf{f} \times \mathbf{g} = \langle (0 \times 4 – (-1) \times 3), (-1 \times 2 – 1 \times 4), (1 \times 3 – 0 \times 2) \rangle
\]
\[
\mathbf{f} \times \mathbf{g} = \langle 0 + 3, -2 – 4, 3 + 0 \rangle = \langle 3, -6, 3 \rangle
\]
Jadi, hasil cross product \(\mathbf{f} \times \mathbf{g}\) adalah \(\langle 3, -6, 3 \rangle\).
Soal 5: Magnitudo Vektor
Misalkan vektor \(\mathbf{h} = \langle 3, 4 \rangle\). Hitunglah magnitudo vektor \(\|\mathbf{h}\|\).
Pembahasan:
Magnitudo vektor \(\mathbf{h}\) dihitung sebagai:
\[
\|\mathbf{h}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Jadi, magnitudo vektor \(\mathbf{h}\) adalah 5.
Soal 6: Vektor Unit
Diketahui vektor \(\mathbf{i} = \langle 6, 8 \rangle\). Tentukan vektor unit \(\mathbf{u}\) dalam arah \(\mathbf{i}\).
Pembahasan:
Vektor unit \(\mathbf{u}\) dalam arah \(\mathbf{i}\) dihitung dengan membagi vektor \(\mathbf{i}\) dengan magnitudonya:
\[
\|\mathbf{i}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\]
\[
\mathbf{u} = \frac{\mathbf{i}}{\|\mathbf{i}\|} = \frac{\langle 6, 8 \rangle}{10} = \langle \frac{6}{10}, \frac{8}{10} \rangle = \langle 0.6, 0.8 \rangle
\]
Jadi, vektor unit dalam arah \(\mathbf{i}\) adalah \(\langle 0.6, 0.8 \rangle\).
Soal 7: Vektor Kolinear
Diberikan dua vektor \(\mathbf{j} = \langle 2, 4 \rangle\) dan \(\mathbf{k} = \langle 1, 2 \rangle\). Tunjukkan bahwa kedua vektor ini kolinear.
Pembahasan:
Dua vektor \(\mathbf{j}\) dan \(\mathbf{k}\) dikatakan kolinear jika ada skalar \(k\) sehingga \(\mathbf{j} = k \mathbf{k}\). Cek apakah ini berlaku:
\[
\mathbf{j} = 2 \times \mathbf{k} = 2 \times \langle 1, 2 \rangle = \langle 2, 4 \rangle
\]
Karena \(\mathbf{j}\) adalah dua kali \(\mathbf{k}\), maka \(\mathbf{j}\) dan \(\mathbf{k}\) adalah kolinear.
Soal 8: Vektor Ortogonal
Diberikan dua vektor \(\mathbf{m} = \langle 1, 2, -3 \rangle\) dan \(\mathbf{n} = \langle 3, -6, 2 \rangle\). Tunjukkan bahwa kedua vektor ini ortogonal.
Pembahasan:
Dua vektor \(\mathbf{m}\) dan \(\mathbf{n}\) dikatakan ortogonal jika dot product mereka adalah nol:
\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = (1 \times 3) + (2 \times -6) + (-3 \times 2) = 3 – 12 – 6 = -15
\]
Karena \(\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} \neq 0\), kedua vektor ini **tidak** ortogonal.
Seharusnya untuk kasus ortogonal hasilnya adalah \(0\), seperti jika \(\mathbf{m} = \langle 1, 2, 3 \rangle\) dan \(\mathbf{n} = \langle 3, -6, -2 \rangle\) maka dot productnya akan menghasilkan \(0\).