Soal 1: Komponen Vektor di Ruang Dua Dimensi
Sebuah vektor \(\mathbf{v}\) memiliki panjang (magnitudo) 10 satuan dan membentuk sudut \(30^\circ\) terhadap sumbu \(x\) positif. Tentukan komponen-komponen vektor \(\mathbf{v}\) dalam sumbu \(x\) dan \(y\).
Pembahasan:
Untuk menentukan komponen-komponen vektor \(\mathbf{v}\) pada sumbu \(x\) dan \(y\), kita dapat menggunakan fungsi trigonometri:
– Komponen pada sumbu \(x\): \(v_x = \|\mathbf{v}\| \cos \theta\)
– Komponen pada sumbu \(y\): \(v_y = \|\mathbf{v}\| \sin \theta\)
Diketahui:
\[
\|\mathbf{v}\| = 10 \text{ satuan}, \quad \theta = 30^\circ
\]
Hitung komponen \(v_x\) dan \(v_y\):
\[
v_x = 10 \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ satuan}
\]
\[
v_y = 10 \sin 30^\circ = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ satuan}
\]
Jadi, komponen-komponen vektor \(\mathbf{v}\) adalah:
\[
\mathbf{v} = \langle 5\sqrt{3}, 5 \rangle
\]
Soal 2: Menghitung Komponen Vektor dari Dua Titik
Diketahui titik \(A(2, 3)\) dan titik \(B(7, 8)\) di ruang dua dimensi. Tentukan vektor \(\mathbf{AB}\) beserta komponen-komponennya.
Pembahasan:
Vektor \(\mathbf{AB}\) didefinisikan sebagai vektor yang berasal dari titik \(A\) ke titik \(B\). Komponen-komponen vektor \(\mathbf{AB}\) dapat dihitung sebagai berikut:
\[
\mathbf{AB} = \langle x_B – x_A, y_B – y_A \rangle
\]
Di mana:
\[
x_A = 2, \quad y_A = 3, \quad x_B = 7, \quad y_B = 8
\]
Substitusikan nilai-nilai tersebut:
\[
\mathbf{AB} = \langle 7 – 2, 8 – 3 \rangle = \langle 5, 5 \rangle
\]
Jadi, komponen-komponen vektor \(\mathbf{AB}\) adalah \(\langle 5, 5 \rangle\).
Soal 3: Komponen Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi
Sebuah vektor \(\mathbf{c}\) memiliki titik awal di \(C(1, -2, 3)\) dan titik akhir di \(D(4, 2, -1)\). Tentukan komponen-komponen vektor \(\mathbf{CD}\).
Pembahasan:
Vektor \(\mathbf{CD}\) adalah vektor yang menghubungkan titik \(C\) ke titik \(D\) dan komponen-komponennya dapat dihitung sebagai berikut:
\[
\mathbf{CD} = \langle x_D – x_C, y_D – y_C, z_D – z_C \rangle
\]
Di mana:
\[
x_C = 1, \quad y_C = -2, \quad z_C = 3
\]
\[
x_D = 4, \quad y_D = 2, \quad z_D = -1
\]
Hitung komponen-komponennya:
\[
\mathbf{CD} = \langle 4 – 1, 2 – (-2), -1 – 3 \rangle = \langle 3, 4, -4 \rangle
\]
Jadi, komponen-komponen vektor \(\mathbf{CD}\) adalah \(\langle 3, 4, -4 \rangle\).
Soal 4: Menyusun Vektor dari Komponen-Komponennya
Diketahui sebuah vektor \(\mathbf{r}\) memiliki komponen \(r_x = 6\) satuan, \(r_y = 8\) satuan, dan \(r_z = 10\) satuan di ruang tiga dimensi. Tentukan magnitudo vektor \(\mathbf{r}\).
Pembahasan:
Magnitudo vektor \(\mathbf{r}\) dihitung menggunakan rumus:
\[
\|\mathbf{r}\| = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z^2}
\]
Substitusi nilai komponen-komponen vektor:
\[
\|\mathbf{r}\| = \sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ satuan}
\]
Jadi, magnitudo vektor \(\mathbf{r}\) adalah \(10\sqrt{2}\) satuan.
Soal 5: Vektor dalam Ruang Dua Dimensi
Vektor \(\mathbf{p}\) memiliki komponen \(p_x = -4\) dan \(p_y = 3\). Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor \(\mathbf{p}\) terhadap sumbu \(x\) positif.
Pembahasan:
Sudut \(\theta\) yang dibentuk oleh vektor \(\mathbf{p}\) terhadap sumbu \(x\) dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{p_y}{p_x}\right)
\]
Substitusi nilai komponen:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{-4}\right) = \tan^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right)
\]
Karena \(p_x\) negatif dan \(p_y\) positif, vektor \(\mathbf{p}\) berada di kuadran II, sehingga sudutnya adalah:
\[
\theta = 180^\circ + \tan^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right)
\]
Menggunakan kalkulator (dan mengubah menjadi radian jika diperlukan), kita dapat menghitung nilai sudut ini.
Jadi, sudut yang dibentuk oleh vektor \(\mathbf{p}\) terhadap sumbu \(x\) adalah sekitar \(143^\circ\) (atau \(\theta\) dalam radian).