Soal 1: Perkalian Skalar (Dot Product)
Dua vektor \( \mathbf{A} = (3, 4) \) dan \( \mathbf{B} = (-2, 1) \). Hitung dot product dari kedua vektor tersebut.
Pilihan Jawaban:
A) -6
B) -2
C) 2
D) 6
E) 8
Pembahasan:
Dot product dari dua vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \) dalam dua dimensi dihitung dengan rumus:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y
\]
Substitusi nilai-nilai dari vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \):
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (3 \times -2) + (4 \times 1) = -6 + 4 = -2
\]
Jadi, dot product dari \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \) adalah -2.
Jawaban: B) -2
Soal 2: Perkalian Silang (Cross Product)
Dua vektor dalam ruang tiga dimensi \( \mathbf{C} = (2, 1, 3) \) dan \( \mathbf{D} = (0, 4, -2) \). Tentukan nilai cross product dari kedua vektor tersebut.
Pilihan Jawaban:
A) \((-10, -4, 8)\)
B) \((10, 4, -8)\)
C) \((4, 8, -10)\)
D) \((-8, -4, 10)\)
E) \((8, -10, 4)\)
Pembahasan:
Cross product dua vektor \( \mathbf{C} \) dan \( \mathbf{D} \) dalam tiga dimensi dihitung dengan menggunakan determinan:
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & -2 \end{vmatrix}
\]
Hitung determinannya:
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = \mathbf{i}(1 \times -2 – 3 \times 4) – \mathbf{j}(2 \times -2 – 3 \times 0) + \mathbf{k}(2 \times 4 – 1 \times 0)
\]
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = \mathbf{i}(-2 – 12) – \mathbf{j}(-4 – 0) + \mathbf{k}(8 – 0)
\]
\[
\mathbf{C} \times \mathbf{D} = (-14\mathbf{i}) + (4\mathbf{j}) + (8\mathbf{k}) = (-14, 4, 8)
\]
Jawaban: A) \((-14, 4, 8)\)
Soal 3: Aplikasi Perkalian Skalar dalam Fisika
Sebuah gaya \( \mathbf{F} = (10, 5) \) Newton bekerja pada benda yang bergerak sejauh \( \mathbf{d} = (3, 4) \) meter. Berapakah kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut?
Pilihan Jawaban:
A) 20 Joule
B) 35 Joule
C) 50 Joule
D) 70 Joule
E) 80 Joule
Pembahasan:
Kerja yang dilakukan oleh gaya \( \mathbf{F} \) ketika benda berpindah sejauh \( \mathbf{d} \) dihitung menggunakan dot product:
\[
W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = (10 \times 3) + (5 \times 4) = 30 + 20 = 50 \, \text{Joule}
\]
Jawaban: C) 50 Joule