Contoh soal Postulat relativitas khusus

Soal 1
Seorang astronot melakukan perjalanan dengan kecepatan \( 0,8c \) (di mana \( c \) adalah kecepatan cahaya) menuju sebuah planet yang berjarak 4 tahun cahaya dari bumi. Berapa lama waktu yang diperlukan astronot untuk mencapai planet tersebut dalam sistem acuan bumi? Dan berapa lama waktu yang dirasakan astronot?

Pembahasan
– Waktu di sistem acuan bumi: Karena jarak antara bumi dan planet adalah 4 tahun cahaya dan astronot bergerak dengan kecepatan \( 0,8c \), maka:
\[
t_{\text{bumi}} = \frac{\text{jarak}}{\text{kecepatan}} = \frac{4 \text{ tahun cahaya}}{0,8c} = 5 \text{ tahun}
\]

– Waktu yang dirasakan astronot (dilatasi waktu):
Menggunakan rumus dilatasi waktu: \( t’ = t \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \)
\[
t’ = 5 \text{ tahun} \times \sqrt{1 – (0,8)^2}
\]
\[
t’ = 5 \text{ tahun} \times \sqrt{1 – 0,64}
\]
\[
t’ = 5 \text{ tahun} \times \sqrt{0,36}
\]
\[
t’ = 5 \text{ tahun} \times 0,6 = 3 \text{ tahun}
\]

Jadi, dalam sistem acuan bumi, perjalanan memakan waktu 5 tahun, sedangkan bagi astronot waktu yang dirasakan hanya 3 tahun.

Soal 2
Sebuah benda bergerak dengan kecepatan \( 0,9c \) relatif terhadap pengamat di bumi. Menurut pengamat di bumi, panjang benda ini adalah 2 meter. Berapakah panjang benda ini menurut pengamat yang bergerak bersama benda tersebut?

Pembahasan
– Karena benda bergerak dengan kecepatan tinggi relatif terhadap pengamat di bumi, kita akan menggunakan konsep kontraksi panjang.

– Panjang benda di sistem benda (panjang sesungguhnya, \( L_0 \)) adalah:
\[
L = L_0 \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}
\]
\[
2 \text{ meter} = L_0 \sqrt{1 – (0,9)^2}
\]
\[
2 \text{ meter} = L_0 \sqrt{1 – 0,81}
\]
\[
2 \text{ meter} = L_0 \sqrt{0,19}
\]
\[
L_0 = \frac{2}{\sqrt{0,19}} \approx 4,58 \text{ meter}
\]

Jadi, menurut pengamat yang bergerak bersama benda, panjang benda adalah sekitar 4,58 meter.

Soal 3
Dua kilat terlihat menyambar dua titik yang terpisah sejauh 1 kilometer menurut pengamat di bumi. Seorang pengamat di dalam kereta yang bergerak sejajar dengan jarak antara dua titik ini mengamati kedua kilat tersebut. Menurut pengamat di kereta, apakah kedua kilat tersebut terjadi secara bersamaan? Jelaskan.

Pembahasan
Menurut relativitas keserempanan, dua peristiwa yang terlihat serempak dalam satu kerangka acuan (bumi) belum tentu serempak dalam kerangka acuan yang bergerak relatif terhadapnya (kereta).

– Karena kereta bergerak, maka menurut pengamat di kereta, salah satu kilat akan terlihat menyambar lebih dulu (tergantung arah gerak kereta). Fenomena ini menunjukkan bahwa keserempanan dua peristiwa adalah relatif; peristiwa yang serempak dalam satu kerangka acuan dapat tidak serempak dalam kerangka lain.

Soal 4
Sebuah partikel memiliki energi total dua kali lebih besar dari energi diamnya. Berapakah kecepatan partikel ini relatif terhadap kecepatan cahaya?

Pembahasan
– Energi total (\( E \)) dari partikel terkait dengan energi diamnya (\( E_0 = mc^2 \)) dan kecepatan partikel melalui persamaan:
\[
E = \frac{E_0}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}
\]

– Diketahui bahwa \( E = 2E_0 \), sehingga:
\[
2E_0 = \frac{E_0}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}
\]
\[
2 = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}
\]
\[
\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}
\]
\[
1 – \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4}
\]
\[
\frac{v^2}{c^2} = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]
\[
v = c \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} c
\]

Jadi, kecepatan partikel adalah \( \frac{\sqrt{3}}{2} c \approx 0,866c \).

Soal 5
Jika sebuah benda bermassa diam 1 kg bergerak dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya, berapakah energi total benda ini?

Pembahasan
– Energi total (\( E \)) suatu benda bergerak dengan massa diam \( m_0 \) diberikan oleh persamaan:
\[
E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}
\]

– Karena \( v \) mendekati \( c \), maka \( \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \) akan mendekati nol, sehingga \( E \) akan sangat besar.

– Energi total mendekati tak hingga ketika kecepatan mendekati \( c \), menunjukkan bahwa benda bermassa tidak dapat mencapai kecepatan cahaya.