Contoh Soal:
Dua buah gaya bekerja pada sebuah titik dengan besar masing-masing 8 N dan 15 N. Kedua gaya tersebut membentuk sudut 45° satu sama lain. Tentukan besar resultan dari kedua gaya tersebut!
Pembahasan:
Untuk menentukan besar resultan dua vektor yang tidak saling tegak lurus, kita bisa menggunakan rumus kosinus. Misalkan kedua gaya tersebut adalah \(\vec{A}\) dengan besar 8 N dan \(\vec{B}\) dengan besar 15 N, serta sudut di antara mereka adalah \(\theta = 45^\circ\).
Magnitudo vektor resultan \(\vec{R}\) dapat dihitung menggunakan rumus kosinus:
\[
|\vec{R}| = \sqrt{|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 – 2|\vec{A}||\vec{B}|\cos(\theta)}
\]
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui:
\[
|\vec{R}| = \sqrt{8^2 + 15^2 – 2 \times 8 \times 15 \times \cos(45^\circ)}
\]
Kita tahu bahwa \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), sehingga:
\[
|\vec{R}| = \sqrt{64 + 225 – 2 \times 8 \times 15 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}
\]
\[
|\vec{R}| = \sqrt{64 + 225 – 240\sqrt{2}/2}
\]
\[
|\vec{R}| = \sqrt{289 – 120\sqrt{2}}
\]
\[
|\vec{R}| \approx \sqrt{289 – 169.71} \approx \sqrt{119.29} \approx 10.92 \text{ N}
\]
Jadi, besar resultan dari kedua gaya tersebut adalah sekitar 10.92 N.
—
Catatan:
Hasil yang lebih presisi bisa didapatkan dengan perhitungan lebih lanjut menggunakan nilai \(\sqrt{2}\) yang lebih akurat. Metode ini memberikan cara yang efisien dan akurat untuk menentukan resultan vektor dalam situasi di mana vektor tidak tegak lurus satu sama lain.
Soal:
Dua buah gaya bekerja pada sebuah benda pada titik yang sama. Gaya pertama, \(\vec{F_1}\), memiliki magnitudo sebesar 10 N dan bekerja pada arah 0°. Gaya kedua, \(\vec{F_2}\), memiliki magnitudo sebesar 8 N dan bekerja pada arah 60° terhadap \(\vec{F_1}\). Tentukan magnitudo dan arah resultan dari kedua gaya tersebut menggunakan rumus kosinus.
Pembahasan:
Untuk menentukan resultan dari kedua gaya yang bekerja pada sudut tertentu, kita dapat menggunakan rumus kosinus. Mari kita langkah-langkahnya:
1. Diketahui:
– \(|\vec{F_1}| = 10\) N
– \(|\vec{F_2}| = 8\) N
– Sudut antara kedua gaya, \(\theta = 60^\circ\)
2. Magnitudo Resultan:
Gunakan rumus kosinus untuk menentukan magnitudo dari vektor resultan \(\vec{R}\):
\[
|\vec{R}|^2 = |\vec{F_1}|^2 + |\vec{F_2}|^2 – 2|\vec{F_1}||\vec{F_2}|\cos(\theta)
\]
Substitusi nilai-nilai yang diketahui:
\[
|\vec{R}|^2 = 10^2 + 8^2 – 2 \times 10 \times 8 \times \cos(60^\circ)
\]
Karena \(\cos(60^\circ) = 0.5\), maka:
\[
|\vec{R}|^2 = 100 + 64 – 2 \times 10 \times 8 \times 0.5
\]
\[
|\vec{R}|^2 = 100 + 64 – 80
\]
\[
|\vec{R}|^2 = 84
\]
\[
|\vec{R}| = \sqrt{84} \approx 9.17 \text{ N}
\]
Jadi, magnitudo vektor resultan \(\vec{R}\) adalah sekitar 9.17 N.
3. Arah Resultan:
Untuk menentukan arah vektor resultan \(\theta_R\) relatif terhadap gaya pertama \(\vec{F_1}\), kita dapat menggunakan rumus trigonometri:
\[
\tan(\theta_R) = \frac{|\vec{F_2}| \sin(\theta)}{|\vec{F_1}| + |\vec{F_2}| \cos(\theta)}
\]
Substitusi nilai-nilai yang diketahui:
\[
\tan(\theta_R) = \frac{8 \times \sin(60^\circ)}{10 + 8 \times \cos(60^\circ)}
\]
Karena \(\sin(60^\circ) \approx 0.866\) dan \(\cos(60^\circ) = 0.5\), maka:
\[
\tan(\theta_R) = \frac{8 \times 0.866}{10 + 8 \times 0.5}
\]
\[
\tan(\theta_R) = \frac{6.928}{14}
\]
\[
\theta_R \approx \tan^{-1}(0.495) \approx 26.4^\circ
\]
Jadi, arah vektor resultan \(\vec{R}\) adalah sekitar 26.4° terhadap arah gaya pertama \(\vec{F_1}\).
Kesimpulan:
Magnitudo vektor resultan \(\vec{R}\) adalah sekitar 9.17 N, dan arahnya adalah sekitar 26.4° terhadap arah gaya pertama \(\vec{F_1}\).