Soal 1: Penjumlahan Vektor dalam Dua Dimensi
Dua buah vektor \(\vec{A}\) dan \(\vec{B}\) diberikan sebagai berikut:
– \(\vec{A} = (3, 4)\)
– \(\vec{B} = (-2, 1)\)
Hitunglah vektor resultan \(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\).
Pembahasan:
Untuk menjumlahkan dua vektor dalam dua dimensi, kita jumlahkan komponen-komponen yang sesuai dari kedua vektor tersebut:
\[
\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}
\]
Komponen-komponen vektor resultan:
\[
R_x = A_x + B_x = 3 + (-2) = 1
\]
\[
R_y = A_y + B_y = 4 + 1 = 5
\]
Jadi, vektor resultan \(\vec{R}\) adalah:
\[
\vec{R} = (1, 5)
\]
Soal 2: Pengurangan Vektor dalam Dua Dimensi
Diberikan dua vektor \(\vec{C}\) dan \(\vec{D}\) sebagai berikut:
– \(\vec{C} = (5, -3)\)
– \(\vec{D} = (2, 4)\)
Hitunglah vektor hasil pengurangan \(\vec{R} = \vec{C} – \vec{D}\).
Pembahasan:
Untuk mengurangkan dua vektor dalam dua dimensi, kita kurangkan komponen-komponen yang sesuai:
\[
\vec{R} = \vec{C} – \vec{D}
\]
Komponen-komponen vektor resultan:
\[
R_x = C_x – D_x = 5 – 2 = 3
\]
\[
R_y = C_y – D_y = -3 – 4 = -7
\]
Jadi, vektor hasil pengurangan \(\vec{R}\) adalah:
\[
\vec{R} = (3, -7)
\]
Soal 3: Penjumlahan Vektor dalam Tiga Dimensi
Diberikan tiga vektor \(\vec{P}\), \(\vec{Q}\), dan \(\vec{S}\) dalam tiga dimensi:
– \(\vec{P} = (2, -1, 3)\)
– \(\vec{Q} = (1, 4, -2)\)
– \(\vec{S} = (-3, 2, 5)\)
Hitunglah vektor resultan \(\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q} + \vec{S}\).
Pembahasan:
Untuk menjumlahkan tiga vektor dalam tiga dimensi, kita jumlahkan komponen-komponen yang sesuai dari ketiga vektor:
\[
\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q} + \vec{S}
\]
Komponen-komponen vektor resultan:
\[
R_x = P_x + Q_x + S_x = 2 + 1 + (-3) = 0
\]
\[
R_y = P_y + Q_y + S_y = -1 + 4 + 2 = 5
\]
\[
R_z = P_z + Q_z + S_z = 3 + (-2) + 5 = 6
\]
Jadi, vektor resultan \(\vec{R}\) adalah:
\[
\vec{R} = (0, 5, 6)
\]
Soal 4: Pengurangan Vektor dalam Tiga Dimensi
Diberikan dua vektor \(\vec{M}\) dan \(\vec{N}\) sebagai berikut:
– \(\vec{M} = (6, 2, -1)\)
– \(\vec{N} = (1, -3, 4)\)
Hitunglah vektor hasil pengurangan \(\vec{R} = \vec{M} – \vec{N}\).
Pembahasan:
Untuk mengurangkan dua vektor dalam tiga dimensi, kita kurangkan komponen-komponen yang sesuai:
\[
\vec{R} = \vec{M} – \vec{N}
\]
Komponen-komponen vektor resultan:
\[
R_x = M_x – N_x = 6 – 1 = 5
\]
\[
R_y = M_y – N_y = 2 – (-3) = 5
\]
\[
R_z = M_z – N_z = -1 – 4 = -5
\]
Jadi, vektor hasil pengurangan \(\vec{R}\) adalah:
\[
\vec{R} = (5, 5, -5)
\]
Kesimpulan
Penjumlahan dan pengurangan vektor menggunakan metode analitis sangat bermanfaat untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang. Teknik ini memungkinkan kita untuk secara langsung menghitung hasil operasi pada vektor dengan ketepatan yang tinggi, terutama ketika bekerja dengan vektor dalam dua atau tiga dimensi.