Soal 1: Menguraikan Vektor dalam Dua Dimensi
Sebuah vektor \(\vec{F}\) memiliki magnitudo 50 N dan membentuk sudut 60° terhadap sumbu \(x\). Tentukan komponen-komponen vektor \(\vec{F}\) pada sumbu \(x\) dan \(y\).
Pembahasan:
Untuk menguraikan vektor \(\vec{F}\) menjadi komponen-komponennya sepanjang sumbu \(x\) dan \(y\), kita dapat menggunakan fungsi trigonometri:
1. Komponen pada sumbu \(x\):
\[
F_x = |\vec{F}| \cos(\theta)
\]
Di mana \(|\vec{F}| = 50\) N dan \(\theta = 60^\circ\).
\[
F_x = 50 \cos(60^\circ) = 50 \times \frac{1}{2} = 25 \text{ N}
\]
2. Komponen pada sumbu \(y\):
\[
F_y = |\vec{F}| \sin(\theta)
\]
Di mana \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
\[
F_y = 50 \sin(60^\circ) = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 43.3 \text{ N}
\]
Jadi, vektor \(\vec{F}\) dapat diuraikan menjadi komponen-komponen \(F_x = 25\) N dan \(F_y = 43.3\) N.
Soal 2: Menguraikan Vektor dalam Tiga Dimensi
Sebuah vektor \(\vec{A}\) di ruang tiga dimensi memiliki magnitudo 100 satuan. Diketahui sudut antara vektor \(\vec{A}\) dengan sumbu \(x\) adalah 45°, dengan sumbu \(y\) adalah 60°, dan dengan sumbu \(z\) adalah 30°. Tentukan komponen-komponen vektor \(\vec{A}\) pada masing-masing sumbu.
Pembahasan:
Untuk menghitung komponen-komponen vektor \(\vec{A}\) pada sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\), kita gunakan aturan trigonometri:
1. Komponen pada sumbu \(x\):
\[
A_x = |\vec{A}| \cos(\alpha)
\]
Di mana \(\alpha = 45^\circ\).
\[
A_x = 100 \cos(45^\circ) = 100 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 70.7 \text{ satuan}
\]
2. Komponen pada sumbu \(y\):
\[
A_y = |\vec{A}| \cos(\beta)
\]
Di mana \(\beta = 60^\circ\).
\[
A_y = 100 \cos(60^\circ) = 100 \times \frac{1}{2} = 50 \text{ satuan}
\]
3. Komponen pada sumbu \(z\):
\[
A_z = |\vec{A}| \cos(\gamma)
\]
Di mana \(\gamma = 30^\circ\).
\[
A_z = 100 \cos(30^\circ) = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 86.6 \text{ satuan}
\]
Jadi, komponen-komponen vektor \(\vec{A}\) adalah \(A_x \approx 70.7\) satuan, \(A_y = 50\) satuan, dan \(A_z \approx 86.6\) satuan.
Soal 3: Aplikasi Penguraian Vektor pada Gaya
Sebuah benda berada di atas permukaan miring dengan sudut kemiringan 30° terhadap horizontal. Gaya gravitasi yang bekerja pada benda tersebut adalah 100 N. Tentukan komponen gaya gravitasi yang sejajar dan tegak lurus terhadap permukaan miring.
Pembahasan:
Gaya gravitasi \(\vec{W}\) dapat diuraikan menjadi dua komponen: sejajar dengan permukaan miring (\(W_\parallel\)) dan tegak lurus terhadap permukaan miring (\(W_\perp\)).
1. Komponen sejajar dengan permukaan miring (\(W_\parallel\)):
\[
W_\parallel = |\vec{W}| \sin(\theta)
\]
Di mana \(\theta = 30^\circ\).
\[
W_\parallel = 100 \sin(30^\circ) = 100 \times \frac{1}{2} = 50 \text{ N}
\]
2. Komponen tegak lurus terhadap permukaan miring (\(W_\perp\)):
\[
W_\perp = |\vec{W}| \cos(\theta)
\]
\[
W_\perp = 100 \cos(30^\circ) = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 86.6 \text{ N}
\]
Jadi, komponen gaya gravitasi yang sejajar dengan permukaan miring adalah 50 N, dan komponen yang tegak lurus terhadap permukaan miring adalah 86.6 N.