Soal 1: Notasi Huruf Tebal dan Garis Bawah
Diketahui vektor \(\mathbf{u} = \langle 3, -2 \rangle\) dan \(\vec{v} = (1, 4)\). Tentukan hasil penjumlahan \(\mathbf{u} + \vec{v}\) dan tuliskan hasilnya dalam notasi huruf tebal.
Pembahasan:
Penjumlahan dua vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponennya:
\[
\mathbf{u} + \vec{v} = \langle 3, -2 \rangle + (1, 4) = \langle 3 + 1, -2 + 4 \rangle = \langle 4, 2 \rangle
\]
Jadi, hasil penjumlahan vektor tersebut dalam notasi huruf tebal adalah:
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{w} = \langle 4, 2 \rangle
\]
Soal 2: Perkalian Skalar
Misalkan \(\mathbf{a} = \langle -2, 5, 3 \rangle\) dan skalar \(k = 4\). Hitunglah hasil perkalian skalar \(k \mathbf{a}\) dan nyatakan hasilnya dalam notasi komponen.
Pembahasan:
Perkalian skalar dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar \(k\):
\[
k \mathbf{a} = 4 \times \langle -2, 5, 3 \rangle = \langle 4 \times (-2), 4 \times 5, 4 \times 3 \rangle = \langle -8, 20, 12 \rangle
\]
Jadi, hasil perkalian skalar \(k \mathbf{a}\) adalah \(\mathbf{b} = \langle -8, 20, 12 \rangle\).
Soal 3: Dot Product (Produk Titik)
Diberikan dua vektor \(\mathbf{a} = \langle 1, 2 \rangle\) dan \(\mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle\). Hitunglah dot product \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) dan interpretasikan hasilnya.
Pembahasan:
Dot product antara dua vektor \(\mathbf{a}\) dan \(\mathbf{b}\) dihitung sebagai berikut:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \times 3) + (2 \times 4) = 3 + 8 = 11
\]
Hasil dot product ini adalah skalar \(11\). Dot product ini dapat diinterpretasikan sebagai ukuran sejauh mana kedua vektor tersebut “searah” atau “berkorelasi”.
Soal 4: Cross Product (Produk Silang)
Diketahui vektor \(\mathbf{p} = \langle 2, 3, 4 \rangle\) dan \(\mathbf{q} = \langle 5, 6, 7 \rangle\). Hitunglah cross product \(\mathbf{p} \times \mathbf{q}\) dan nyatakan hasilnya dalam notasi komponen.
Pembahasan:
Cross product dari dua vektor \(\mathbf{p}\) dan \(\mathbf{q}\) dalam ruang tiga dimensi adalah:
\[
\mathbf{p} \times \mathbf{q} = \langle 3 \times 7 – 4 \times 6, 4 \times 5 – 2 \times 7, 2 \times 6 – 3 \times 5 \rangle
\]
\[
\mathbf{p} \times \mathbf{q} = \langle 21 – 24, 20 – 14, 12 – 15 \rangle = \langle -3, 6, -3 \rangle
\]
Jadi, hasil cross product \(\mathbf{p} \times \mathbf{q}\) adalah \(\mathbf{r} = \langle -3, 6, -3 \rangle\).
Soal 5: Notasi Vektor dalam Ruang N-Dimensi
Misalkan vektor \(\mathbf{v}\) dalam ruang 5-dimensi dinyatakan sebagai \(\mathbf{v} = \langle 1, 0, -1, 2, 3 \rangle\). Tentukan komponen kedua dari vektor \(\mathbf{v}\) dan hitung normanya (magnitudo).
Pembahasan:
Komponen kedua dari vektor \(\mathbf{v}\) adalah \(v_2 = 0\).
Norma (magnitudo) dari vektor \(\mathbf{v}\) dalam ruang 5-dimensi dihitung sebagai:
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2}
\]
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 0 + 1 + 4 + 9} = \sqrt{15}
\]
Jadi, norma dari vektor \(\mathbf{v}\) adalah \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{15}\).